TikZ でグラフィカルモデルを書こう！

この記事は ベイズ塾 Advent Calendar 2020 の 18 日目の記事です。

グラフィカルモデル（プレート表現）

ベイジアンモデリングにおいて、モデルが複雑であるばあい、グラフィカルモデル（プレート表現）がその理解の補助的な役割を果たします（といいつつ、あんまり見かけない……人気ないのかな……）。

グラフィカルモデル（プレート表現）の記法はひとつでなく、少なくとも Lee & Wagenmakers. (2013). Bayesian Cognitive Modeling.（通称：怖い人本）で紹介されているものや、Kruschke. (2015). Doing Bayesian data analysis.（通称：犬4匹本）¹で使われているものなどがあります。

個人的に前者のものの方がシンプルで好みなので、この記事は前者の記法を採用します。その記法は

という3つの要素からなり、さらにノードについて

1. 離散値（四角形）– 連続値（円）
2. 確率変数（一重）– 確定変数（二重）
3. 観測変数（影つき）– 非観測変数（影なし）

という3次元の組み合わせとして変数を表現します。

たとえばこんな感じ。

この図が例として最適なので、以降ではこの図を書くことを最終目標として話を進めていきます。

何で書くか

記法がわかったから早速「グラフィカルモデル（プレート表現）を書こう！」ということになるのですが、何で書くかということが問題になります。ぱっと思いつくだけでも

1. Office, Adobe, その他類似のツール
2. Graphviz + DOT
3. LaTeX + TikZ

などがあります。どういう訳か選択肢1は眼中にないので、選択肢2か選択肢3をとることにしましょう。

Graphviz + DOT

Graphviz のうち、 DOT言語 を使って書くやり方です。ここでは深入りしないのですが、R 使いのベイジアンに朗報なのは、R の DiagrammR というライブラリから DOT 言語を使えることです²。Python 使いのベイジアンにも Graphviz というパッケージがあります。

DiagrammR を使ってグラフィカルモデル（プレート表現）を書く方法は、すでに他の方が記事にしているのでそちらを参照してください。

• Rでグラフィカルモデルを書こう！（この記事を書くきっかけになった記事）
• DiagrammeRと仲良くなった話ーグラフィカルモデルのためのDiagrammeR速習ー

ただ、2つめの資料で言及されているのですが、Graphviz + DOT を使うやり方は、 図3 にあるような部分的に重なったプレートを書くことができないようです（つらい）。

LaTeX + TikZ

LaTeX のパッケージ TikZ を使って書くやり方です。本命です。

先に言っておくと、TikZ を使えば部分的に重なるプレートも書くことができます。

さらに、TikZ のライブラリに BayesNet といういかにもなライブラリがあり、このライブラリに 99% のベイジアンが「満足」と答えています（当社調べ）。例えば下図の左のような図を書くことができます（ちなみに右の図は directed factor graph と呼ばれているようです）。

ただ、このライブラリ、プレートのキャプションを右下以外に配置することができません。これを看過できない人がいます。そう、残りの 1% のベイジアンです（実際に issue も立っていますが、数年前から開発が止まっています）。

では、仕方がないので BayesNet を解読してピュアな TikZ を使って書くことにしましょう。幸い、キャプションを右下以外に配置するにはオプションひとついじればよく、BayesNet 全体がたった137行のコードから構成されているので、

1. 部分的に重なるプレートを書きたい
2. プレートのキャプションを好きなところに配置したい

という2つの欲求をかんたんに満たすことができます。

TikZ でグラフィカルモデルを書こう！

準備

\documentclass{standalone}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{positioning,fit,arrows.meta}

\begin{document}
    \begin{tikzpicture}
        % nodes ...
        % edges ...
        % plates ...
    \end{tikzpicture}
\end{document}

\usetikzlibrary{positionig,fit,arrows.meta} としていますが、positioning はノードの相対配置をするため、fit はプレートを書くため、arrows.meta はエッジの矢印を整えるために使っています。長くなってしまうので深追いはしませんが、詳しい使い方やその他の TikZ ライブラリについては こちら が大変参考になります（とくに arrows.meta については こちら、positioning については こちら ）。

以下でも軽く説明しますが、TikZ の基本的な書き方は Overleaf のドキュメントが役に立ちます。

• TikZ package - Overleaf, Online LaTeX Editor
• A Tutorial for Beginners (Part 1)—Basic Drawing - Overleaf, Online LaTeX Editor

ノード

ノードの基本的な書き方は以下のとおりです。「オプション」でノードの見た目や位置を、「ラベル」でノードに付される $\theta$ や $y$ といったラベルを指定できます。「ノード名」はノードの相対配置をしたり、エッジを指定したり、プレートを書いたりするさいに使います。

\node[オプション] (ノード名) {ラベル};

では、 図3 にあるノードを書いてみます。

% nodes
\node[draw,fill=gray!60,rectangle,minimum size=1cm]                                           (n)        {$n$};
\node[draw,fill=gray!60,rectangle,minimum size=1cm,above=1cm of n]                            (k_ij)     {$k_{ij}$};
\node[draw,circle,double,minimum size=1cm,above=1cm of k_ij]                                  (theta_ij) {$\theta_{ij}$};
\node[draw,fill=gray!60,circle,minimum size=1cm,left=1cm of theta_ij]                         (t_j)      {$t_{j}$};
\node[draw,circle,minimum size=1cm,above left =1.5cm and 0.1cm of theta_ij.north,anchor=east] (alpha_i)  {$\alpha_{i}$};
\node[draw,circle,minimum size=1cm,above right=1.5cm and 0.1cm of theta_ij.north,anchor=west] (beta_i)   {$\beta_{i}$};

ここで登場するオプションについてはざっと以下の通りです。

上のノードを追加するとこのような出力が得られます。

エッジ

ノードの基本的な書き方は以下のとおりです。「オプション」でエッジの見た目を、「fromノード名」と「toノード名」でエッジの端点を指定します。

\draw[オプション] (fromノード名) edge (toノード名);

では、 図3 にあるエッジを書いてみます。

% edges
\draw[-Stealth]
    (n)        edge (k_ij)
    (theta_ij) edge (k_ij)
    (t_j)      edge (theta_ij)
    (alpha_i)  edge (theta_ij)
    (beta_i)   edge (theta_ij);

ここで登場する -Stealth は一方向の矢印で矢じりに Stealth という形を指定しています（Stealth は arrows.meta から来ています）。もちろんこの他にもたくさんのオプションがありますが、ここでは触れません。また、矢印スタイルを共有するエッジは上のようにまとめて書くことができます。

上のエッジを追加するとこのような出力が得られます。

プレート

さいごにプレートの書き方は以下のとおりです。BayesNet ライブラリを参考に3つのノードの組み合わせでプレートを書きます。

\node[inner sep=0cm,fit={(ノード名1)(ノード名2)...}] (wrap) {};
\node[inner sep=0cm,相対位置=(距離) of wrap.位置] (caption) {キャプション};
\node[draw,rounded corners,fit={(wrap)(caption)}] (plate) {};

それぞれの役割については以下のとおりです（ノード名は便宜上のもので、自由に変更できます）。

では、 図3 にあるプレートを書いてみます。

% plates
% i-plate
\node[inner sep=0cm,fit={(alpha_i)(beta_i)(theta_ij)(k_ij)}] (wrap_i) {};
\node[inner sep=0cm,above=0.3cm of wrap_i.north west,anchor=west] (caption_i) {$i\ \textrm{people}$};
\node[draw,rounded corners,fit={(wrap_i)(caption_i)}] (plate_i) {};
% j-plate
\node[below right=0.05cm and 0.5cm of plate_i.south east] (dummy_j) {};
\node[inner sep=0cm,fit={(dummy_j)(t_j)(theta_ij)(k_ij)}] (wrap_j) {};
\node[inner sep=0cm,above=0.3cm of wrap_j.south west,anchor=west] (caption_j) {$j\ \textrm{times}$};
\node[draw,rounded corners,fit={(wrap_j)(caption_j)}] (plate_j) {};

j-plate では、見た目をよりきれいにするために dummy_j という透明のノードを追加しています。このノードを加えることでどのように見た目が変わるかは、このノードをコメントアウトすることで確認できます（wrap_j 内からも除外してください）。

上のプレートを追加するとこのような出力が得られます。 図3 と見比べてみてください。

tikzset

さて、以上で目的としていた図を出力できたのですが、ノードやプレートを書くのに似たようなオプションが反復されており、無駄なだけでなく可読性が下がってしまっています。そこで、ライブラリ化するまではいかずとも、一時的なスタイルを定義してちょっとだけ体系化してみましょう。

スタイルの定義は \tikzset を使います。プリアンブルで

\tikzset{スタイル名/.style={各種オプションの設定}}

とすれば、文書内で共通のスタイルを使用することができます。では、繰り返し使いそうなスタイルをプリアンブルで定義してみます。

\tikzset{
  disc/.style={rectangle,minimum size=1cm}, % 離散値
  cont/.style={circle,minimum size=1cm},    % 連続値
  obs/.style={draw,fill=gray!60},           % 観測変数
  latent/.style={draw},                     % 非観測変数
  wrap/.style={inner sep=0cm},              % wrap ノード
  caption/.style={inner sep=0cm},           % caption ノード
  plate/.style={draw,rounded corners}       % plate ノード
}

あとは個別にオプションを指定する代わりに、ここで定義したスタイルを指定してやれば各スタイルに含まれるオプションが反映されます。このスタイルも使ってこれまでをまとめると以下のような感じになります（折りたたんであります）。

エディター

R 使いのベイジアンにぜひともおすすめしたいのが RStudio です。ご存知のとおり RStudio 上で .tex ファイルをコンパイルできるだけでなく、今度リリースされる RStudio v1.4 では複数の source pane を横に並べることができるようになるそうです（ こんな感じ ）。つまり、.stan ファイルでモデルを定義しながら、.tex ファイルでそのモデルを描画していくなんてこともできてしまいます。（以下追記）さらに、これはお教えいただいたものなのですが、R Markdown では TikZ エンジンを使うことができ、そのまま TikZ の図が埋め込めてしまいます……（ 参照 ）！べんり……！

また、万人におすすめできるのは Overleaf です。なにより面倒な環境構築をしなくてよいのが魅力です。

さいごに

この記事は「グラフィカルモデルが書きたい > DiagrammR は少し自由度が低い > BayesNet でキャプションの位置を変えられないのが気に食わない（些細）」という動機から生えたものです。先述のとおり、我ながら BayesNet でもよいのでは？という気がしますが、個人的にはこれをもとに LaTeX も TikZ も初めて触って学ぶことができ、結構たのしかったです（なのでお作法的にまずいところがあるかもしれません。もし見つけたらご連絡ください）。

また、ここで紹介した TikZ のオプションやライブラリはほんの一部なので、気になった方は色々調べてみてください。

この記事はこれで終わりですが、 図3 のようにグラフィカルモデル（プレート表現）と数式を併置して一枚の図にすることもでき、こちらについては、余力があるときにどこかにまとめるかもしれません。